TEMAS

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Relaciones y funciones

Funciones crecientes y decrecientes

Funciones definidas a trozos

Pendiente de la recta

MATE 3

FUNCUIONES DEFINIDAS A TROZOS

Una función definida a trozos es una función cuya expresión analítica no es única sino que depende del valor de la variable independiente.

Ejemplo

Así la función definida por

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪−x−13x−2 si  si  si x≤−3−1<x<1x≥1=⎧⎩⎨⎪⎪−x−13x−2 si  si  si x∈(−∞,3]x∈(−1,1)x∈[1,+∞]

es una función definida a trozos.

Para calcular la imagen de un elemento x observamos a qué intervalo pertenece y lo sustituimos en la expresión analítica correspondiente a este intervalo.

Ejemplo

En el caso anterior por ejemplo,

• si x=−4, sustituimos en f(x)=−x−1 y obtenemos f(−4)=3
• si x=−2, la imagen no está definida ya que −2 no pertenece a ningún intervalo de definición de la función.
• si x=0.5, sustituimos en f(x)=3 obteniendo f(0.5)=3
• si x=1 sustituimos en f(X)=x−2 obteniendo f(1)=−1

Como las expresiones que definen cada uno de los trozos tienen como dominio al menos el propio trozo, el dominio de la función f(x) está formado por la unión de los intervalos de definición de la función.

Dom(f)=(−∞,−3]∪(−1,1)∪[1,+∞)=(−∞,−3]∪(−1,+∞)

Si nos fijamos ahora en el gráfico de la función anterior que presentamos a continuación, podemos observar que Im(f)=[−1,+∞):

Veamos unos ejemplos de funciones definidas a trozos:

Ejemplo

Consideramos la función f(x)={12 si  si x≤2x>2.
Su gráfica es la unión de las gráficas de las funciones f(x)=1 para x≤2 y f(x)=2 para x>2.
La representación gráfica sería:

Ejemplo

Consideramos la función f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪−xx2x si  si  si x≤−1−1<x<1x≥1
Esta vez su gráfica será la unión de una recta, una parábola y otra recta, definidas cada una donde indica la función.

Ejemplo

f(x)={2x−1x+3 si  si x<1x>1
y si queremos evaluar en x=−1 obtendremos: f(−1)=f1(−1)=2(−1)=2(−1)−1=−2−1=−3

Ejemplo

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x−1x2+13ln(x+ex) si  si  si  si x>100x<−3−3≤<00≤x≤100
y si queremos evaluar en x=−1 obtendremos: f(−1)=f2(−1)=(−1)2+1=1+1=2

Ejemplo

El siguiente ejemplo no sería una función definida a trozos ya que los conjuntos de definición de las subfunciones no son disjuntos:

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪xx+1−3 si  si  si x≥2x<0−1<x<2

ya que para puntos en (−1,0) se tendría que evaluar la función en f1(x)=x y en f2(x)=x+1, y como obentdríamos dos valores para un solo punto, ésto no cumpliría la definición de función.

FUENTE:

http://www.sangakoo.com/es/temas/funciones-definidas-a-trozos